A matemática desempenha um papel decisivo para compreender o comportamento e o funcionamento de elétrico e sistemas eletrônicos . Polinômios, Álgebra, Probabilidade, Integrações e Diferenciações etc ... formam uma parte significativa das ferramentas usadas para resolver os sistemas. Com a crescente complexidade dos sistemas, métodos muito sofisticados são necessários. As equações diferenciais são usadas principalmente para definir sistemas de controle. Essas equações são simples de resolver. Mas a complexidade surge ao resolver equações diferenciais de ordem superior. Para resolver essas equações diferenciais complexas de ordem superior, o método matemático que provou ser eficaz é Laplace Transform . Como essa transformação é amplamente utilizada, é útil saber o que realmente significa e como funcionam.

O que é uma transformação de Laplace?

Em matemática, as transformações são aplicadas para transformar uma variável de uma forma para outra para tornar a equação fácil de manusear. A transformação de Laplace faz praticamente a mesma coisa. Eles transformam a equação diferencial de ordem superior em uma forma polinomial que é muito mais fácil do que resolver a equação diferencial diretamente.

Mas há várias transformadas como a transformada de Fourier, transformações z, o que torna a transformada de Laplace especial? A principal vantagem da transformada de Laplace é que elas são definidas para sistemas estáveis e instáveis, enquanto as transformadas de Fourier são definidas apenas para sistemas estáveis.

Fórmula de transformação de Laplace

Uma transformada de Laplace da função f (t) em um domínio de tempo, onde t é o número real maior ou igual a zero, é dada como F (s), onde há s é o número complexo no domínio da frequência, ou seja, s = σ + jω
A equação acima é considerada como unilateral Equação de transformação de Laplace . Quando os limites são estendidos a todo o eixo real, então o Transformada de Laplace bilateral pode ser definido como
Em circuitos práticos como Circuitos RC e RL normalmente, as condições iniciais são usadas, portanto, as transformadas de Laplace unilaterais são aplicadas para fins de análise.
Como s = σ + jω, quando σ = 0 as transformadas de Laplace se comportam como transformadas de Fourier.

“código cinza para conversor binário ”

Fórmulas de transformação de Laplace

Condições de aplicabilidade da transformada de Laplace

As transformadas de Laplace são chamadas de transformadas integrais, portanto, existem condições necessárias para a convergência dessas transformadas.
isto é, f deve ser localmente integrável para o intervalo [0, ∞) e dependendo se σ é positivo ou negativo, e ^ (- σt) pode estar decaindo ou crescendo. Para transformações de Laplace bilaterais, ao invés de um único valor, a integral converge em um certo intervalo de valores conhecido como Região de Convergência.

Propriedades da transformada de Laplace:

Linearidade

Time Shifting

Mudança no domínio S

Inversão de tempo

Diferenciação no domínio S

Convolução no tempo

“o que o regulador de voltagem faz ”

Teorema do valor inicial

O teorema do valor inicial é aplicado quando na transformada de Laplace o grau do numerador é menor que o grau do denominador Teorema do valor final:

Se todos os pólos de sF (s) estiverem na metade esquerda, o teorema do valor final do plano S é aplicado.

Transformada inversa de Laplace

Devido à característica de convergência, a transformada de Laplace também tem uma transformação inversa. As transformações de Laplace exibem mapeamento um a um de um espaço de função para outro. A fórmula para a transformação inversa de Laplace é

Como calcular a transformada de Laplace?

A transformada de Laplace torna as equações mais simples de manusear. Quando uma equação diferencial de ordem superior é fornecida, a transformada de Laplace é aplicada a ela, o que converte a equação em uma equação algébrica, tornando-a mais fácil de manusear. Em seguida, calculamos as raízes por simplificação desta equação algébrica. Agora é encontrada a transformada de Laplace inversa de expressão mais simples, que resolve a equação diferencial de ordem superior fornecida.

Cálculo da Transformação de Laplace

Aplicações da Transformada Laplace

Análise de elétrica e Circuitos eletrônicos .
Quebrando equações diferenciais complexas em formas polinomiais mais simples.
A transformada de Laplace fornece informações sobre estados estáveis e transitórios.
No aprendizado de máquina, a transformação de Laplace é usada para fazer previsões e fazer análises em mineração de dados.
A transformada de Laplace simplifica os cálculos na modelagem do sistema.

Aplicação de Laplace Transform In Signal Processing

As transformações de Laplace são frequentemente escolhidas para processamento de sinal. Junto com a transformada de Fourier, o Transformada de Laplace é usado para estudar sinais no domínio da frequência. Quando há pequenas frequências no sinal no domínio da frequência, pode-se esperar que o sinal seja suave no domínio do tempo. A filtragem de um sinal é geralmente feita no domínio da frequência, para o qual Laplace atua como uma ferramenta importante para converter um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência.

Aplicação de Laplace Transform In Control Systems

Os sistemas de controle geralmente são projetados para controlar o comportamento de outros dispositivos. Exemplo de sistemas de controle pode variar de um simples controlador de aquecimento doméstico a um sistema de controle industrial que regula o comportamento das máquinas.

Geralmente, os engenheiros de controle usam equações diferenciais para descrever o comportamento de vários blocos funcionais de malha fechada. A transformada de Laplace é usada aqui para resolver essas equações sem a perda de informações variáveis cruciais.

Caracterização de sistemas lineares invariantes no tempo usando a transformada de Laplace

Para um sistema ROC casual associado ao sistema, a função é o meio plano direito. Um sistema é anti-casual se sua resposta ao impulso h (t) = 0 para t> 0.

Se ROC das funções de sistema H (s) inclui o eixo jω, então o L.T.I. o sistema é chamado de sistema estável. Se um sistema casual com funções de sistema racionais H (s) tiver partes reais negativas para todos os seus pólos, então o sistema é estável.

Assim, a transformada de Laplace é uma ferramenta crucial na análise de circuitos. Podemos dizer como um estetoscópio está para o médico, as transformações estão para o engenheiro de controle. Como você considera as transformações de Laplace? De que forma eles foram úteis para você?