Cálculos de capacitor indutor

Os indutores podem ser imaginados como o oposto dos capacitores. A principal diferença entre um capacitor e um indutor é que um capacitor carrega um dielétrico protetor entre suas placas, que inibe a condução de corrente através de seus terminais. Aqui ele atua como um circuito aberto.

Por outro lado, a indutância de um indutor é normalmente (embora nem sempre) de resistência incrivelmente baixa ou mínima. Basicamente, ele se comporta como um circuito fechado.

Dualidade de indutor de capacitor

Existe um termo único em eletrônica para esse tipo de relação entre dois parâmetros de um circuito ou partes de um circuito. Os elementos deste tipo de par são conhecidos como duais um do outro . Por exemplo, dependendo da capacidade de conduzir corrente, um circuito aberto é o duplo de um circuito fechado.

No mesmo princípio, um indutor é dual de um capacitor. A dualidade de indutores e capacitores é muito mais profunda do que apenas a capacidade natural de conduzir corrente.

Neste artigo, comparamos o princípio de funcionamento do indutor e do capacitor e avaliamos os resultados com cálculos e fórmulas.

Apesar do fato de que indutores normalmente são raramente vistos em circuitos eletrônicos, já que hoje em dia são substituídos principalmente por opamps em filtros ativos), as outras partes envolvidas em um circuito parecem carregar alguma quantidade de indutância.

A auto-indutância dos terminais de um capacitor ou resistor torna-se um grande problema em circuitos de alta frequência, o que explica por que resistores de montagem em superfície sem chumbo e capacitores são tão frequentemente empregados em tais aplicações.

Equações básicas do capacitor

A equação fundamental para capacitores é aquela com a qual o farad é definido:

C = Q / I [Eq.19]

onde C é a capacitância em farad, Q é a carga em coulomb e U é o pd entre as placas em volts.

Por meio da Eq. 19, obtemos uma fórmula da forma Q = ∫ I dt + c onde c é a carga inicial, se disponível. Tendo identificado Q, podemos determinar U a partir da Eq. 19:

U = 1 / C ∫ I dt + c / C [Eq.21]

Uma característica importante de um capacitor pode ser assim: se uma corrente periódica for aplicada a ele (geralmente uma corrente que oscila sinusoidalmente), a carga do capacitor e a tensão através dele também flutuam sinusoidalmente.

A curva de carga ou tensão é uma curva cosseno negativa, ou podemos imaginá-la como uma curva seno que fica atrás da curva atual em Pi / 2 operação (90 °).

A equação fundamental que define o Henry, a unidade de indutância, é

L = NΦ / I [Eq.22]

Com referência a uma única bobina, a auto-indutância em Henry pode ser a relação de fl uxo (o fl uxo magnético<1) in weber multiplied by the number of winding N, (because the magnetic flux cuts through each turn), when a unit current passes through it (I = 1 A). An even more handy definition could be extracted from Eq. 22, using Neumann’s equation. This claims that:

U = N (dΦ / dt) [Eq.23]

O que essa equação sugere é o fato de que o e.m.f. induzido dentro de um indutor é relativo à taxa de variação vinculada do fl uxo.

Quanto mais rápido o fluxo varia, maior o e.m.f. induzido. Por exemplo, quando o fluxo sobre o indutor ou bobina aumenta a uma taxa de 2 mWb s^-1, e assumindo que a bobina tem VINTE CINCO voltas, então U = 25x2 = 50V.

O caminho do e.m.f. é tal que resiste às variações no fluxo, conforme descrito pela Lei de Lenz.

Essa verdade é freqüentemente apontada precedendo o lado direito da equação com um sinal de menos, entretanto, enquanto acreditarmos que U é a e.m.f. posterior, o sinal pode ser removido.

Diferenciais

O termo dΦ / dt na Eq. 23 indica o que aprendemos como a taxa de variação do fl uxo. A frase é chamada de diferencial de Φ em relação a t, e todo um ramo da aritmética é dedicado a trabalhar com esse tipo de expressão. A frase tem a forma de um único número (dΦ) dividido por mais uma quantidade (dt).

Diferenciais são utilizados para associar vários conjuntos de proporções: dy / dx, por exemplo, variáveis ​​correlatas x e y. Quando um gráfico é plotado usando valores de x no eixo horizontal e valores de y no eixo vertical, dy / dx significa quão íngreme é a inclinação, ou gradiente, do gráfico.

Se U é a tensão da porta-fonte FET, onde T é a corrente de drenagem relacionada, então dI / dU significa a quantidade com a qual I muda para determinadas mudanças em U. Alternativamente, podemos dizer que dI / dU é a transcondutância. Ao discutir indutores, dΦ / dt pode ser a taxa de variação do fl uxo com o tempo.

O cálculo de um diferencial pode ser considerado o procedimento inverso de integração. Não há espaço adequado neste artigo para examinar a teoria da diferenciação; no entanto, definiremos uma tabela de quantidades comumente usadas juntamente com seus diferenciais.

Diferenciais Padrão

A tabela acima funciona usando I e t como os fatores em vez da rotina x e y. Para que seus detalhes sejam especificamente pertinentes à eletrônica.

Como exemplo, considerando que I = 3t +2, a maneira como I desvia em relação ao tempo pode ser visualizada no gráfico da Fig. 38. Para encontrar a taxa de variação de I em qualquer momento, estimamos dI / dt, por referindo-se à tabela.

O primeiro elemento na função é 3t ou, para formatá-lo como a primeira linha da tabela, 3t¹. Ifn = 1, o diferencial é 3t^1-1= 3t⁰.

Desde t⁰= 1, o diferencial é 3.

A segunda quantidade é 2, que pode ser expressa como 2t⁰.

Isso muda n = 0 e a magnitude do diferencial é zero. O diferencial de uma constante será sempre zero. Combinando ambos, temos:

dI / dt = 3

Nesta ilustração, o diferencial não inclui t, o que significa que o diferencial não depende do tempo.

Simplificando, a inclinação ou gradiente da curva na Fig. 38 é 3 continuamente o tempo todo. A Figura 39 abaixo exibe a curva para uma função diferente, I = 4 sen 1,5t.

Com referência à tabela, α = 1,5 eb = 0 nesta função. A tabela mostra, dl / dt = 4x1.5cos1.5t = 6cos 1.5t.

Isso nos informa a taxa instantânea de mudança de I. Por exemplo, em t = 0,4, dI / dt = 6cos0,6 = 4,95. Isso pode ser notado na Fig. 39, na qual a curva para 6 cos0,6t inclui o valor 4,95 quando t = 0,4.

Também podemos observar que a inclinação da curva 4sin1.5t é 4,95 quando t = 0,4, conforme mostrado pela tangente à curva naquele ponto, (em relação às diferentes escalas nos dois eixos).

Quando t = π / 3, ponto em que a corrente está no seu máximo e constante, neste caso dI / dt = 6cos (1,5xπ / 3): 0, correspondente à variação zero da corrente.

Ao contrário, quando t = 2π / 3 e a corrente está mudando no nível mais alto possível de positivo para negativo, dI / dt = 6cosπ = -6, vemos seu maior valor negativo, exibindo uma grande redução da corrente.

O simples benefício dos diferenciais é que eles nos permitem determinar taxas de mudança para funções que são muito mais complexas em comparação com I = 4s em 1,5t, e sem ter que plotar as curvas.

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Reorganizando os termos na Eq 22, obtemos:

Φ = (L / N) I [Eq.24]

Onde L e N têm dimensões constantes, mas Φ e I podem ter valor em relação ao tempo.

Diferenciar os dois lados da equação em relação ao tempo dá:

dΦ / dt = (L / N) (dI / dt) [Eq. 25]

A fusão desta equação com a Eq.23 dá:

U = N (L / N) (dI / dt) = L (dI / dt) [Eq.26]

Esta é outra forma de expressar o Henry . Podemos dizer que, uma bobina tendo auto-indutância de 1 H, uma mudança de corrente de 1 A s^-1gera um e.m.f. de volta de 1 V. Dada uma função que define como uma corrente varia com o tempo, a Eq. 26 nos ajuda a calcule a volta e.m.f. de um indutor a qualquer momento.

A seguir estão alguns exemplos.

A) I = 3 (uma corrente constante de 3 A) dl / dt = 0. Você não pode encontrar nenhuma mudança de corrente, portanto, a e.m.f. é zero.

B) I = 2t (uma corrente de rampa) dI / dt = 2 A s^-1. Com uma bobina carregando L = 0,25 H, a parte traseira e.m.f. será constante em 0,25x2 = 0,5 V.

C) I = 4sin1.5t (a corrente senoidal dada na ilustração anterior dl / dt = 6cos 1.5t. Dada uma bobina com L = 0.1 H, a fem posterior instantânea é 0,6cos1,5t. A fem posterior segue a curva diferencial da Fig. 39, mas com amplitude de 0,6 V em vez de 6 A.

Compreendendo 'Duals'

As duas equações a seguir significam a equação de um capacitor e indutor, respectivamente:

Isso nos ajuda a determinar o nível de tensão produzida no componente pela corrente variando no tempo de acordo com uma função específica.

Vamos avaliar o resultado obtido por diferenciador os lados L e H da Eq.21 com respeito ao tempo.

dU / dt = (1 / C) I

Como sabemos, a diferenciação é o inverso da integração, a diferenciação de ∫I dt inverte a integração, tendo apenas I como resultado.

Diferenciar c / C dá zero, e reorganizar os termos produz o seguinte:

I = C.dU / dt [Eq.27]

Isso nos permite saber a direção da corrente se está indo em direção ao capacitor ou saindo dele, em resposta a uma tensão que varia de acordo com uma determinada função.

O interessante é que o acima equação da corrente do capacitor é semelhante à equação de tensão (26) de um indutor, que exibe o capacitância, dualidade de indutância.

Da mesma forma, a diferença de corrente e potencial (pd) ou a taxa de variação da corrente e pd pode ser dual quando aplicada a capacitores e indutores.

Agora, vamos integrar a Eq.26 em relação ao tempo para completar a equação quarteto:

∫ U dt + c = LI

A integral de dI / dt é = I, reorganizamos as expressões para obter:

I = 1 / L∫ U dt + e / L

Isso novamente parece bastante semelhante à Eq.21, provando ainda mais a natureza dual da capacitância e indutância, e seu pd e corrente.

Agora temos um conjunto de quatro equações que podem ser usadas para resolver problemas relacionados a capacitores e indutores.

Por exemplo, Eq.27 pode ser aplicado para resolver o problema como este:

Problema: Um pulso de voltagem aplicado através de 100uF produz uma curva como mostrado na Fig abaixo.

Isso pode ser definido usando a seguinte função por peça.

Calcule a corrente que se move através do capacitor e trace os gráficos correspondentes.

Solução:

Para o primeiro estágio, aplicamos a Eq.27

I = C (dU / dt) = 0

Para a segunda instância, onde U pode estar aumentando com uma taxa constante:

I = C (dU / dt) = 3C = 300μA

Isso mostra uma corrente de carga constante.

Para o terceiro estágio, quando U cai de forma exponencial:

Isso indica que a corrente está fluindo para longe do capacitor em uma taxa decrescente exponencial.

Relacionamento de Fase

Na figura abobe, um pd alternado é aplicado a um indutor. Este pd em qualquer instante pode ser expresso como:

Onde Uo é o valor de pico do pd. Se analisarmos o circuito na forma de um loop e aplicarmos a lei de tensão de Kirchhoff no sentido horário, obteremos:

No entanto, como a corrente é senoidal aqui, os termos entre colchetes devem ter o valor igual à corrente de pico Io, portanto, finalmente obtemos:

Se compararmos a Eq.29 e a Eq.30, descobrimos que a corrente I e a tensão U têm a mesma frequência, e I fica atrás de U em π / 2.

As curvas resultantes podem ser estudadas no seguinte diagrama:

C

Isso mostra a relação contrastante entre o capacitor e o indutor. Para um indutor, a corrente está atrasada em relação à diferença de potencial em π / 2, enquanto para um capacitor, a corrente está à frente do pd. Mais uma vez, isso demonstra a natureza dual dos dois componentes.